Пирог "Двойной рулет с грибами и сыром"

Кулинарный рецепт
Мука пшеничная / Мука — 470 г
Яйцо куриное — 1 шт
Пюре картофельное — 150 г
Молоко (тёплое) — 80 мл
Вода (тёплая) — 80 мл
Сыр полутвердый (Грюнландер ТМ "Hochland") — 150 г
Дрожжи (свежие, пресованные) — 15 г
Соль — 7 г
Приправа (прованские травы) — по вкусу
Масло сливочное — 70 г
Шампиньоны — 600 г
Морковь — 1 шт
Лук репчатый (средние) — 2 шт
Сыр плавленый (Ассорти ТМ "Hochland") — 110 г
Помидоры черри — 6 шт
Масло растительное — 3 ст. л.
Желток яичный — 1 шт
Молоко — 1 ст. л.